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数学科学学院胡俊课题组在有限元方面取得突破性进展
日期: 2015-04-17  信息来源: 数学科学学院 国际数学研究中心

北京大学数学科学学院副教授、北京国际数学中心研究员胡俊及其课题组提出了一个理论上最直接、内蕴的设计弹性力学问题混合有限元方法的全新框架,取得突破性进展,解决了长达五十余年的公开问题即弹性力学问题混合有限元方法。

有限元方法是在求解弹性力学问题中发明的,主要用于工程中弹性结构的应力分析。基于位移法的有限元应力分析是间接方法;基于Hellinger-Reissner变分原理的应力分析将应力和位移都作为独立变量直接离散,可以更好得满足平衡方程和应力边界条件,避免闭锁现象,而且可以得到更加精确的近似应力,是直接方法。从20世纪60年代开始,包括D.N.ArnoldJim DouglasJr和混合有限元方法理论的奠基者F.Brezzi在内的很多国际著名数学家,一直在从事基于Hellinger-Reissner变分原理的弹性力学问题混合有限元的研究,做过很多尝试,并提出了应力弱对称的混合有限元方法;D.N.Arnold课题组基于数学上的弹性复形,首次得到应力严格对称的稳定混合有限元。这些进展的部分结果分别是F.Brezzi在1986年世界数学家大会的四十五分钟邀请报告和D.N.Arnold在2002年世界数学家大会的一小时邀请报告的主要内容之一。但其中的核心问题,即寻找应力严格(强)对称、有最优收敛性的稳定混合元,一直未得到有效解决。

胡俊及其课题组基于他们自己获得的分片多项式H(div)空间一个内蕴的结构和两个基本代数结果,提出了一个设计弹性力学问题混合有限元的框架。这一框架与文献中已有框架完全不同,其最突出的一点在于,基于它设计的混合元应力严格(强)对称,应力与位移多项式次数匹配自然合理,有最优收敛性。其次,他们的算法和理论从二维、三维到任意维度都是统一的。此外,新的单元基函数极为简单,对很多实用情形,在相同收敛阶的前提下,单元应力自由度是文献中已有单元应力自由度的二分之一甚至更少,因而非常容易实现。针对胡俊的研究成果,有限元方面的专家许进超教授评价其“解决了用于求解弹性力学方程组有限元方法的一个多年来悬而未决的基本问题,有很重要的理论价值与实际意义。许多世界一流的计算数学专家都为解决此问题做过努力,但胡俊最终得到了最优的算法及其完美的理论分析。”

背景资料:

胡俊一直致力于有限元方法的研究,经过十几年坚持不懈的努力,取得了突破性进展。由于他的杰出工作,北京国际数学研究中心2014年特邀胡俊为访问教授。他近日还被中国计算数学学会授予首届“青年创新奖”,以表彰他对弹性力学方程组混合有限元方法所作出的奠基性贡献。

胡俊曾于2004年获得德国洪堡基金会的洪堡研究奖学金,于2006年获得教育部全国百篇优秀博士学位论文。胡俊的研究得到了国家自然科学基金委重大研究计划重点项目、创新群体、重点项目与面上项目以及教育部全国优秀博士论文专项项目的经费资助。

胡俊研究成果主要文献:

1.Jun Hu, A new family of efficient conforming mixed finite elements on both rectangular and cuboid meshes for linear elasticity in the symmetric formulation, arXiv:1311.4718 v3[math.NA] (2013), to appear in SIAM J. Numer. Anal., 2015.

2.Jun Hu, Finite element approximations of symmetric tensors on simplicial grids in Rn: the higher order case, arXiv:1409.7744v2 [math.NA](2014), to appear in J. Comput. Math., 2015.

3.Jun Hu and Shangyou Zhang, A family of conforming mixed finite elements for linear elasticity on tetrahedral grids, Sci. China Math.,58(2015), pp. 297--307.

4.Jun Hu and Shangyou Zhang, Finite element approximations of symmetric tensors on simplicial grids in Rn: the lower order case, arXiv: 1412.0216v2 [math.NA], 2014.

编辑:江南


   
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